선형대수 인강 관련 질문입니다.

[창후니]

교수님 안녕하세요. 14년 선형대수 문풀강의 들을때 딸린 강의로 선대 안톤이론강의도 제공됫는데요. 그 강의록입니다. (a)번과 (f)는 동치명제잔아요. 근데 궁금한 것이 생겻습니다. nxn행렬 A에 대해서요.

"임의의 nx1행렬 b에 대해서 AX=b가 유일한 해(오직 하나의 해)를 갖는다." 와 "A가 가역행렬"인게 동치인데요.

주어진 한 nx1행렬 c에 대해서 AX=c가 유일한 해를 가진다고 해서 A가 가역이라고는 말할수없지요?? 특정 c만 주어졋고 AX=c가 유일한 해를 가지는데 A가 가역이라고 하면요... AX=c는 유일한 해를 가지는건 맞으니까.. 동치가 되요.. 즉 임의성(임의의 b라고 하지 않아도,,,"AX=c(주어진 c라는 한 행렬)이 유일한 해를 가진다"와 "A가 가역행렬"이다.가 동치가 되게 되는거죠... 분명 증명할때 안톤책도 그렇고... AX=b(임의의 b에 대해서..) 유일한해를 가져야 A는 가역이라고 햇는걸로 아는데요... 즉 임의의 라는 게 빠지면... 안되는거죠...?? 그리고 그렇다면 제 생각이 맞다면 AX=c(특정 주어진 행렬c)에 대해 유일한(오직 한개의) 해를 가지지만 A는 가역이 아닌 행렬이 있을듯한데... 뭔가 이런예를 직접 눈으로 보면 알수있을거같은데 예를 찾을수도 없고.. 그렇다고 임의성이 빠진 특정 c에 대해 두개가 동치라고 보기에도 그렇고... 헷갈리네요. 도와주세요.

[심대원]

주어진 c에 대해 AX=c가 유일한 해를 가지면, Ax=0는 자명한 해만을 갖게 됩니다. Ax=c의 해가 존재한다면 Ax=c와 Ax=0의 해의 개수가 같기 때문입니다. 그러면 첨부하신 정리의 (b)에 의해 A가 역행렬이 존재함을 알 수 있습니다. 즉, 동치조건 맞습니다.

[창후니]

교수님 감사합니다. 그래서.. 제가 생각한 그런예를 찾을수는 없엇나봐요. 그런데 Ax=c(c가 영행렬이 아닐때)는 해를 안가지는 경우, 유일한 해를 가지는 경우, 무수히 많은해를 가지는경우가 있는데요. Ax=0은 무조건 일단 자명해때문에 해는 적어도 1개이상가지므로 자명해만 갖는경우(즉 유일한 해만 가지는경우), 자명해포함해서 그 이외의(무수히 많은해)를 가지는 경우 이렇게 두가지가 있겠네요. c=0은 당연해서 빼고요. 교수님 말씀이 .. Ax=c(가 해를 일단 가진다면 Ax=c는 무수히 많은 해를 가지면 Ax=0도 마찬가지로 무수히 많은 해를 가지고, Ax=c가 유일한 해를 가지면 Ax=0도 유일한 해(즉 자명해)만 가진다는 말씀인데요.

[창후니]

좀더... 자세하게 증명이라던가.. 아이디어를 알려주실수잇나요.. A를 일반적인 nxn행렬로 두고 c는 그러면 nx1행렬이면서 적어도 한 성분은 0이 아닌것이 있겟지요. 그런식으로.. 기본행조작해서.. 뭔가.. 케이스마다 증명을 이끌어내보려는데.. 잘안되서요.ㅡ