리우빌 정리에 관해 이해한게 맞을까요?

[꿈꾸는중]

복소해석학이.. 너무.. 어렵네요 저에겐 그래서 오개념일까봐 걱정되서 문의드립니다.

복소함수라는게 평면에서 평면으로 사상시키는 거라고 생각을 했는데

그럼 f가 정함수라 가정하고, 유계인데 상수가 아니라고 한다면? 이상황 자체는 말이 안되는 상황인지 궁금합니다.

저런 상황이 연출되는 정함수 f는 존재하지 않는다가 맞는 것 같은데, 그럼 저렇게 사상시킨 함수 f가 만약 존재한다면 (사실 존재하는지도 모르겠습니다.) f가 정함수가 아니라는 거니까 f가 미분이 안되는 점이 존재한단 이야기겠죠?

[수정과]

'f가 정함수이고 |f|가 복소평면에서 유계이면 f가 복소평면에서 상수함수이다'가 정리이므로 세 번째 줄에서 말씀하신 상황이 성립하지 않습니다. 25대비 복소함수론 정리 4.25 p.65를 적용하여 리우빌정리를 증명해보면 f가 정함수이므로 임의의 z₀, R에 대해 코시 부등식을 n=1일 때 적용할 수 있습니다. 그렇다면 |f'(z₀)|≤M_{R}/R이 성립하는데 임의의 z에 대해 적당한 M이 존재하여 |f(z)|≤M이고 M_{R}≤M이므로 |f'(z₀)|≤M/R이 성립합니다. 여기서 R은 임의의 수이므로 큰 수가 될 수 있고 부등식에서 M은 R과는 독립적이므로 임의의 큰 수에 대해서도 부등식이 성립하기 위해서는 f'(z₀)=0이 되어야 합니다. 여기서 z₀는 임의로 선택할 수 있으므로 복소평면의 모든 점에서 f'(z)=0가 된다는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 25대비 복소함수론 정리 2.20 p.28에 의해 f는 복소평면에서 상수함수가 된다는 것을 알 수 있습니다.
또한 서술하신대로 |f|가 복소평면에서 유계이지만 f가 상수함수가 아니라면 리우빌 정리에 의해 f는 정함수가 아니라는 것을 알 수 있습니다.