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작성자 수정과 작성시간24.06.04 'f가 정함수이고 |f|가 복소평면에서 유계이면 f가 복소평면에서 상수함수이다'가 정리이므로 세 번째 줄에서 말씀하신 상황이 성립하지 않습니다. 25대비 복소함수론 정리 4.25 p.65를 적용하여 리우빌정리를 증명해보면 f가 정함수이므로 임의의 z₀, R에 대해 코시 부등식을 n=1일 때 적용할 수 있습니다. 그렇다면 |f'(z₀)|≤M_{R}/R이 성립하는데 임의의 z에 대해 적당한 M이 존재하여 |f(z)|≤M이고 M_{R}≤M이므로 |f'(z₀)|≤M/R이 성립합니다. 여기서 R은 임의의 수이므로 큰 수가 될 수 있고 부등식에서 M은 R과는 독립적이므로 임의의 큰 수에 대해서도 부등식이 성립하기 위해서는 f'(z₀)=0이 되어야 합니다. 여기서 z₀는 임의로 선택할 수 있으므로 복소평면의 모든 점에서 f'(z)=0가 된다는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 25대비 복소함수론 정리 2.20 p.28에 의해 f는 복소평면에서 상수함수가 된다는 것을 알 수 있습니다.
또한 서술하신대로 |f|가 복소평면에서 유계이지만 f가 상수함수가 아니라면 리우빌 정리에 의해 f는 정함수가 아니라는 것을 알 수 있습니다.