manifold 가 헷갈립니다.

[단무깡]

n dimension manifold 가 정확히 무엇을 말하는 건지 모르겠습니다.

예를 들어 반경이 r 인 구의 표면에 대한 patch 는 다음과 같습니다.

x = rsinθcosΦ
y = rsinθsinΦ
z = rcosθ

( r=일정 , 0<θ<pi,0<Φ<2*pi )

그럼 구의 표면 자체를 2차원 manifold 라고 하는건지, 아님 θ,Φ 영역을 2차원 manifold

라고 하는건가요?

그리고 구의 표면 위에서 Φ=2θ ( 0<θ<pi)를 만족하는 선은 다음과 같습니다.

x = rsinθcos2θ
y = rsinθsin2θ
z = rcosθ

그럼 이 선 자체를 1차원 manifold 라고 하는건가요, 아님 θ 영역 자체를 1차원 manifold

라고 하는건가요?

[Klein]

문제는 대부분의 경우 한 장으로 도형 전체를 표시할 수 있는 지도를 만들 수 없다는 건데요, (구면에서도 구면 전체를 덮는 지도를 만드는 것은 불가능하지요) 이를 극복하기 위해 여러 장의 지도가 필요한 거고, 적당한 compatible condition이 필요한 겁니다.

[단무깡]

그렇군요.한가지 더 질문해도 될까요? torus 의 경우 torus 표면 전체를 cover 할 수 있는 최소한의 patch 는 몇개인가요? 구면의 경우는 2개가 맞나요?

[블러디]

torus는 S^1 × S^1 이므로 생각해보세요.

[단무깡]

3개인가요? 잘 모르겠네요.,

[블러디]

product manifold를 정의할때 미분구조를 주는 방법을 생각해보면 됩니다. 그냥 각각 미분구조의 product으로 주게되죠. 4개