선형대수에서 증명하는 것 중에서 finite-dimensional vector space는 항상 basis를 가진다는 정리가 있는데, (당연한 이야기지만) infinite-dimensional에서도 basis를 가지겠지요. 그럼 infinite-dimensional vector space가 basis를 가진다는 것은 어떻게 보이나요?
보통 우리가 infinite-dimensional vector space의 예로 드는 것이 어떤 Field의 원소를 계수로 가지는 다항식들의 집합 F[x]인데, 이 경우에는 basis를 {1, x, x^2, ...}과 같이 쉽게 찾을 수 있습니다. 이 경우에는 basis가 countable set이기 때문에 비교적 쉽게 찾을 수 있는것 같은데요, 그렇다면 구간 [a, b]에서 연속한 모든 함수의 집합 C[a, b]와 같은 것에서는 basis를 어떻게 찾을 수 있나요?
덧) 푸리에 전개를 배울때 이걸로 되지 않을까 생각했는데, 역시 푸리에 급수는 무한합이 되기 때문에 basis라 볼 수 없더군요.
보통 우리가 infinite-dimensional vector space의 예로 드는 것이 어떤 Field의 원소를 계수로 가지는 다항식들의 집합 F[x]인데, 이 경우에는 basis를 {1, x, x^2, ...}과 같이 쉽게 찾을 수 있습니다. 이 경우에는 basis가 countable set이기 때문에 비교적 쉽게 찾을 수 있는것 같은데요, 그렇다면 구간 [a, b]에서 연속한 모든 함수의 집합 C[a, b]와 같은 것에서는 basis를 어떻게 찾을 수 있나요?
덧) 푸리에 전개를 배울때 이걸로 되지 않을까 생각했는데, 역시 푸리에 급수는 무한합이 되기 때문에 basis라 볼 수 없더군요.
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댓글
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작성자단무깡 작성시간 06.04.28 푸리에 급수의 sin,cos 은 당연히 1순위고요,베셀함수,legendre 다항식, 아무튼 많을 겁니다.
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작성자답인가..? 작성시간 06.04.29 You canNOT find a countable (Hamel/algebraic) basis for an infinite dimensional Banach space (a consequence of the Baire Category Theorem). Therefore, trig polynomials, etc, cannot be a Hamel/algebraic basis for C[0,1].
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작성자Klein 작성시간 06.04.29 Could you give me some reference about constructive Schauder basis for C[a, b]? I heard someone made it, but I cannot find good information about it. Have you heard anything about 'constructive' algebraic basis for R?
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작성자Unique 작성시간 06.04.30 infinite dimensional vector space가 항상 basis를 가진다는 것은 axiom of choice가 필요합니다.
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작성자답인가..? 작성시간 06.05.01 "Banach Spaces for Analysts" by P. Wojtaszczyk for example.