답댓글작성자비는아픔작성시간06.12.19
테일러급수에 대해 자세히 배우지 않아서 조심스럽네요. sin^-1 x 를 두번 미분하면 2x/(1-x^2)인데 1/(1-x^2) = sum{n=0~inf}{x^(2n)}이니까 두번 미분한것은 2*sum{n=0~inf}{x^(2n+1)}이고 이것을 두번 적분하면 2*sum{n=0~inf}{x^(2n+3)/[(2n+2)(2n+3)]} + C 그런데 sin^-1 0 = 0 이므로 C=0.
작성자대로매작성시간06.12.19
첫번째 문제는 그냥은 안되고 이항급수(binomial series)를 이용하면 됩니다 즉, 1/ √(1+x) = (1+x)^(-1/2) 에 대한 이항급수에서 x 대신 -x^2을 대입하면 되죠 두번째 문제는 lnx에 대한 Maclaurin급수를 생각해보면 되겠네요(lnx는 음에서 정의안되니까요)
작성자대로매작성시간06.12.20
위에서 수정할 게 하나 있네요(죄송) lnx에 대한 맥클로린 급수는 정의 될 수 없고 x=1에서의 테일러급수가 만들어지고 이 급수는 구간(0, 2)에서만 수렴하고 그 합이 lnx와 같지요. 이와 같이 대부분의 함수에 대한 멱급수는 수렴구간 안에서만 그 합이 일치하고 그 밖에서는 함수는 정의되지만 급수는 무의미합니다. 따라서 같고 같지 않고는 정의되느냐 아니냐의 문제입니다.
작성자대로매작성시간06.12.20
그리고 이항급수는 (모르시면 안되는데...) 이항정리의 일반화입니다. 이항정리는 (a+b)^n(n은 자연수)의 전개에서 각 항의 계수에 관한 정리이고요, 이항급수는 임의의 실수지수에 대해서도 가능한 형태인데 그것은 임의의 실수 k에 대해서 (1+x)^k=(k_C_n*x^n의 합)(여기서 n은 0부터 무한대까지이고 k_C_n={k(k-1)....(k-n+1)}/n!
답댓글작성자체 게바라작성자 본인 여부작성자작성시간06.12.20
책에 나와 있는데 이항급수라고 정의하지 않고 소개만 하더군요. 답변 감사합니다. k는 실수인가요? 예를 들어 1/2일때 k_C_n은 어떻게 계싼하나요? 여기서 k_C_n은 고등학교때 배운 combination 인가 그거 아닌가요? nCr n,r이 자연수일때는 계산을 해봤는데, k가 실수이니 어떻게 해야 되는 건가요??