(Lebsgue) Measurable function???

[400R]

Best Q&A 게시판에서 관련글도 보고 나름 검색도 해봤는데 잘 이해가 되지 않는 부분이

있어서 따로 글을 올립니다.

h: E->R and consider {x in E: h^2(x) > a}

a<0 경우에 E 가 M 의 원소라는건 쉽게 이해가 되는데

a>=0 경우...

{x: h^2(x) > a} = {x: h(x) > sqrt(a)} union {x: h(x) < -sqrt(a)}

로 변형하는것 까지는 알겠는데 여기서 왜 두 집합이 모두 measurable 이며

더 나아가 h^2 또한 measurable 이라는걸 모르겠습니다.

여기서 measurable 이라함은 책에서 Lebsgue Measurable function 이라고 했구요..

(Lebsgue) Measurable function 의 정의는 다음과 같이 나와 있는데

Suppose that E is a measurable set. We say that a function f: E -> R is (Lebsgue) measurable if for any interval I belong to R

inv(f)(I) = {x in R: f(x) in I} in M

inv : inverse of f

belong to: 부분집합

in: 속한다

이 정의 자체가 와닿지를 않네요...

물론 정의니까 그냥 받아들일수도 있지만 직관적으로 봤을때 너무 추상적이라서

다른곳에 잘 적용하질 못하겠어요.

그리고 한가지 더...

{f_n} is a sequence of measurable function defined on the set E ...

여기서 (measurable) 함수의 수열(?)이라는것이 무슨 뜻인가요?

subscript n이 가르키는 것이 무엇인지도 잘 모르겠구요...

설명 부탁드립니다...

[허걱~]

말그대로 임의의 interval 의 inverse image 는 어떤 set이 되겠죠. 이 set이 measurable 이면 그 함수를 measurable 이라고 하고요. 그러면 {x: h(x) > sqrt(a)} 이 집합은 (sqrt(a), ∞) 의 inverse image 니까 정의대로 하면 measurable set이고 그 합집합 역시 measurable 이죠. 그리고 말그대로 함수열입니다. f_i 가 하나의 함수가 되는거죠.

[400R]

솔직히 아직도 measurable의 의미가 와닿지는 않습니다만...ㅜ.ㅜ 그렇다면 임의의 interval 의 inverse image가 measurable하지 않을 경우는 별로 없을것 같은데 그렇다면 non-measurable을 단순히 "measurable하지 않음"으로 생각하지 않고 직관적으로 보면 무슨 뜻인가요?

[Usual Lee]

우선 집합의 집합을 이해를 해야 하고요. 집합들의 포함관계를 이해하고 집합들을 이용하여 만들어지는 집합을 추상적이나마 이해하려고 노력해야합니다. 그리고 중요한 것은 실수를 이해하는 것과 같이 집합으로서의 함수를 이해해야지 처음길을 잘 접어 들었다고 생각이듭니다.

[Unique]

해석학(Measure 부분)을 처음 공부할 땐 Lebesgue measure로 정의된 적분식을 이해하는게 중요합니다. 그 motivation을 이해하면 왜 measurable function을 저렇게 정의하는지도 아주 자연스러워지죠.

[400R]

좀 더 노력해보도록 하겠습니다.