THOMAS' CALCULUS 보고 있는데요,
가만히 읽고서 넘어가려고 했는데, 마지막 한 문장이 발목을 붙잡아서
야심한 시간에 질문 올리고 갑니다.
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(실수의 대수적 성질, 순서성, 완비성에 대한 설명 후)
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실수의 성질과 극한에 대한 혼돈은 초기 미분적분학 발전에 있어 상당한 논쟁을 일으켰다. 뉴턴, 라이프니치, 그리고 그 계승자들인 미분적분한 선구자들은 Δx 와 Δy가 각각 0에 가까워질 때 차분몫
Δy/Δx = {f(x + Δx) - f(x)} / Δx
이 어떤 값을 갖는지 살펴볼 때 2개의 무한히 작은 양의 몫으로 미분을 말했다. dx와 dy로 표시하는 이 "무한소들"은 0이 아닌 어떤 고정된 수보다도 더 작은 새로운 종류의 수로 간주되어졌다. 유사하게 정적분은 x가 폐구간에서 움직일 때 무한개의 무한소의 합 f(x)·Δx로 간주되어졌다. 근사하는 차분몫 Δy/Δx는 오늘날처럼 많이 이해된 반면에 극한이라기 보다는 무한소의 몫으로 미분의 의미를 각인하였다. 이러한 사고방식은 논리적인 어려움들을 이끌어냈다. 무한소로 시도되어진 정의와 조작은 모순과 불일치에 부딪혔다. 더 구체적이고 계산적인 차분몫은 그러한 문제를 일으키지는 않았지만 그러나 단지 유용한 계산도구로만 간주되어졌다. 차분몫은 미분의 수치적인 값을 계산하고 일반적인 공식을 이끌어내는데 사용되곤 했지만 미분계수가 실제로 무엇인지에 대한 질문의 중심에 있다고는 고려하지 않았다. 오늘날 무한소와 관련한 논리적 문제들은 근사하는 차분몫의 극한으로 미분계수를 정의함으로써 피해질 수 있다. 예전 접근의 애매성은 더 이상 존재하지 않는다. 미적분학에 대한 오늘날의 이론들은 무한소의 개념이 필요하지도 않고 사용되지도 않는다.
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여기서 어떻게 이해 해야 하나요 ㅠ
그리고 또 문득 떠오른 내용입니다.
개인 블로그에서 퍼왔어요..
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(0.99999...=1 이냐는 논쟁 관련 댓글에서)
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0.99999...=1 을 참으로 치든, 거짓으로 치든 논리적 모순은 없습니다.(...)
후자의 경우 '무한소'라는 개념을 도입하는데, 적어도 제 주변이나 제가 관심가진 분야에선 무한소를 다룬 경우는 못봤군요.
질문하신 명제가 참이라기보단, 거짓인 경우가 별로 의미가 없어서 생각하지 않는다고 하는 편이 정확하겠지요. 이 글에서 설명한 ε-δ논법과 같이 해석학의 시작인 기법만 해도, 무한소의 개념을 없애야 성립합니다. 그리고 ε-δ논법이 없으면 현대해석학의 99%가 헛소리가 되고(...), 현실에 무한소에 대응하는 무언가가 없는 이상 무한소를 인정하지 않는 쪽이 좋겠지요? 만약 대응하는 무언가가 있고, 그 무언가가 현실적으로 매우 중요하면, 그 때는 무한소를 인정한 해석학이 새롭게 연구되겠지요.
(무한소:= 0보다 크고 모든 양의 실수보다 작은 수.)
*무한소가 인정될 경우, 실수 R 이 집합 차원에서 달라집니다. 정의하는 방법은 그대로지만.
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결론
- 미적분학, 해석학에서 무한소의 개념은 필요하지 않다?!! (그러면 무한소의 역수 개념인 무한대도 개념은..?)
혼란스럽네요.. lim{x -> 0}, lim{x -> ∞} 에서처럼 무한소, 무한대 개념을 사용한게 아니였던가요..
댓글
댓글 리스트-
작성자동화처럼 작성시간 10.05.02 그러다보니 미적분의 개념 또한 실무한을 바탕으로 정의가 가능하게되고 당연하게도 무한소의 개념을 필요없게 된것입니다. 저도 자세히는 모르나 무한소의 개념은 많은 오류와 문제를 가지고 왔다고 하는군요. 아마도 님은 그렇다면 무한대의 개념도 마찬가지로 오류가 있는 것이 아닌가라고 생각하신 것 같은데 그렇지는 않습니다. 무한을 바로보는 관점은 크게 두가지가 있는데 하나는 앞서 말한 실무한의 관점이고 나머지 하나는 가무한의 관점입니다. 이는 또한 전통수학의 관점이기도 했지요. 무한대라는 기호자체는 가무한적인 관점이 반영된 것이라고 보면됩니다. 그리고 가무한적인 관점까지만 인정한다면 사실 수학은 좀 더 완전해(?)
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작성자동화처럼 작성시간 10.05.01 진다고 할 수 있습니다. 많은 것들이 사라지겠지만. 끝으로 0.99999...=1 와 관련해 짧게 말씀드리면 이를 바라보는 관점은 크게 2가지가 있는데 하나는 등호가 성립한다고 보는 관점이고 이것이 실무한적 관점입니다. 무한을 하나의 완비된 것으로 보는 것이지요. 또하는 등호가 성립하지 않는 것으로 보는 것인데 이것이 가무한적인 관점입니다. 가무한적인 관점에서 0.99999...은 숫자가 아닙니다. 그저 하나의 process 지요. 무한히 더해지는 상태입니다. 무한대 기호가 의미하는 그것처럼요. 사실 이런 전반적인 것이 몇 마디 말로 설명할 수 있는 것이 아니기에 책을 몇 권 추천해드리고 싶은데
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작성자동화처럼 작성시간 10.05.01 [무한의 신비], [수학의 확실성], [무한론 교실]이 바로 그것입니다. 아마 제 말이 잘 이해가 가지 않으신다면 님이 가지는 혼란과 고민에 조금이나마 도움이 될거라 생각합니다. 그럼 좋은 하루되세요.
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답댓글 작성자아이시떼루 작성자 본인 여부 작성자 작성시간 10.05.02 우와~ 마지막이 참 소름돋는 답변이네요..^^; 감사합니다~!
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작성자허걱~ 작성시간 10.05.02 결국은 표준해석학과 비표준해석학의 차이네요. 저도 전공이 해석학이 아니고 주변에 비표준해석학을 전공하는 사람도 없어서 정확히는 모르지만 비표준해석학으로도 표준해석학에 나오느 결과들을 다 나타낼수있다고 합니다. 그리고 딱히 더 좋은 결과가 나오는건 아니라고하네요. 자세한건 책을 참조