변분법(사이클로이드, 최단강하곡선)에 대하여

[세원군]

오늘 고등학교때도 한 사이클로이드를 토마스 미적학에서 그 물리학적 특징에 대하여 봤는데요

이놈이 최단강하곡선이자 등시곡선이라더군요.

후자는 그렇다 치고

이놈이 최단 강하 곡선인지 어떻게 아나요?

책에보니 변분법(calculus of variation)을 사용하여서 찾아낸다는데..

제 지식 상에서 알아들을 수 있게 설명 해주실 분을 찾습니다 ㅋㅋ

[밝히리]

물리량중에 action 이라는 물리량이 있습니다. [에너지 * 시간]의 차원을 가진 물리량인데, 각운동량과 차원이 같아요.
자연현상은 이 action 이라는 놈이 극소(혹은 극대)가 되는 경로를 따라서 움직여요.
이걸 가리켜 최소작용의 원리(least-action principle)라고 합니다.
단순한 예가 광학에서 페르마의 원리 - 빛은 시간이 최소가 되는 경로를 따라 움직인다. - 이지요.

[밝히리]

미분에서는 주어진 함수에서 극대/극소가 되는 x값을 찾는데,
변분법에서는 주어진 경계조건에서 극대/극소가 되는 함수를 찾아요.
최속강하선 문제에서는
양 끝점을 정해 놓고 물체가 어떤 경로를 따라 움직일 때, 그 경로마다 움직이는 시간을 구합니다.
그래서 시간이 최소가 되는 경로의 곡선(함수)를 직접 찾는 것이지요.

빨래줄의 방정식이 cosh(x) 라는 것도 양 끝점을 고정시키고 빨래줄의 길이를 상수로 놓은 다음,
변분법을 이용해서 에너지가 최소가 되는 곡선의 방정식을 찾으면 현수선의 방정식이 나옵니다...
짧은 말로 설명하려니, 여러가지로 많이 부족하군요.
죄송.. ㅡㅡ;;

[세원군]

아.. 수리물리학에 있는거군요 ㅋㅋ 이정도만 해도 대충 어떤지는 알거 같네요. 솔직히 현수선의 식이 왜그렇게 되는지에 대한 설명없이 고등학교때 언급한것도 이제 이해가 가는군요.. 많은 도움이 되었습니다. 일단은 저걸 보기위한 기본부터 열심히 쌓아야겠어요 ㅎㅎ

[허걱~]

calculus of variation 은 수학에서 방대한 한 분야입니다. 도서관에 검색해보면 그런 제목으로 책이 여러권 나올꺼에요. 하나 찾아서 보세요. 여기 쓰기엔 정말 여백이 너무 좁군요.

[푸른하늘]

아마 변분법 안써도 증명은 할 수 있을걸요? ^^;;;