댓글 리스트
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작성자 Klein 작성시간10.11.06 본질적으론, dy/dx가 분수이기 때문입니다. 분수로 계산한다는 말이 아마도 dy/dx X dz/dy = dz/dx, 1/(dx/dy) = dy/dx 같은 공식을 의미하는 걸로 짐작됩니다만, 이러한 공식은 기적이 아니라 사실 dy/dx가 두 양의 몫의 '극한'으로 정의되고, 몫에 대해서 위의 식이 성립하기 때문에 (예를 들어, dx, dy가 모두 어떤 실수일 경우) 그 극한에 대해서도 성립할 거라는 건 충분히 기대할 수 있는 현상입니다. 물론 엄밀히 증명을 해야 하는 사실이지만요.
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작성자 Klein 작성시간10.11.06 굳이 differential form의 언어가 없어도, 일변수 함수에 대한 저 두 공식(전자를 함성함수의 미분, 후자를 역함수 정리라고 부릅니다)은 증명할 수 있습니다. 예를 들어, y = f(x), z = g(y)꼴의 함수일 때, k = f(x+h)-f(x)라 하면, dz/dx = lim h -> 0 (g(f(x+h))-g(f(x))/h = lim h -> 0 (g(f(x+h))-g(f(x)))/(f(x+h)-f(x)) X (f(x+h)-f(x))/h = lim k -> 0 (g(y+k)-g(y))/k X lim h -> 0 (f(x+h)-f(x))/h = dz/dy X dy/dx가 됩니다. 역함수 정리 역시, 복잡한 테크닉 없이 증명 가능합니다.
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작성자 Klein 작성시간10.11.06 오히려 differential form은, 미적분학의 기본 정리 (y = f(x)일 때, int_a^b dy/dx dx = f(b)-f(a))를 임의의 차원으로 확장시키려는 결과의 산물입니다. 그리고 differential form을 이용한 Stokes 정리 등의 증명을 자세히 들여다 보면, 결국은 우리가 잘 알고 있던 일변수 미적분 (위의 사실들을 포함한)의 반복적 사용이라는 것을 알 수 있습니다. 결국, differential form을 제대로 이해하기 위해서는 일변수 미적분을 제대로 이해하는 것이 필수입니다.