함수의정의?(치역)

[수학killer]

1.

f(X)={y∈Y|y=f(x) for some x∈X} is called the range of the function 이라되어있는데..

제가 불연듯떠오른것이 for some 이아니라 for all 이어야 하는것 아닌가요? 모든 domain의 원소x들은 다 대응을 시키는걸로 생각하고있었는데.. 무엇이 잘못된것인지 궁금합니다.

2.

A partition of a nonempty set X is a class of nonempty subsets of X which has the following property : Each element in X belongs to exactly one set in the class. One of the important facts about any equivalence relation in X is that it induces a partition of the set X. Suppose R is an equivalence relation in X. For each x∈X we define the equivalence class of x by

[x]={y∈X|y~x}

이것인데요..도대체 몇번을 읽어도 잘이해가 되지를 않네요...(Introduction to mathematical analysis (고등미적분학)교재인데요, 초록색으로된 작은사이즈의크기인 책이에요)       일단 class 라는것에대해서도 잘 모르겠고. 파티션이라는것에대해 의미가 잘안와닿아서요.. 그림도 없고.. 그냥 저렇게 글로만되있어서요.. 궁금증을 해결하고 싶습니다 수학고수님들 부탁드려요^^

[수학111]

1. for all이 맞는 것 같네요.
2. 동치류에 관한 설명인데, 어떤 공집합아닌 집합을 적당한 공집합 아닌 부분집합으로 자르면 똑같은 크기로 규칙을 가지고 정확하게 잘린다는건데..
예를들면 정수집합을 짝수의 집합으로 자르면(동치관계) 홀수부분과 짝수부분으로 갈리죠? 서로 위수도 같고, 서로 공집합관계이고, 두 집합을 합하면 전체집합이 되는등...(이 때 홀수집합과 짝수집합이 각각 동치류(이퀴빌런스 클래스)입니다) 그렇게 만들어진 두 집합(홀수, 짝수)를 다시 원소로 생각하여 집합으로 만들면 여러가지 특징들이 있습니다. 자세한 건 더 배우시면 나올거에요..^^

[수학killer]

파티션은 그러면 짝,홀수 이렇게 나누는 방법들을 모아논것들을 말하는 것인가요?

[허걱~]

영어 해석이 서툴러서 그런 것 같은데 1번에 for all 이라고 해버리면 위의 집합은 공집합이 될 가능성이 아주아주 큽니다.(상수 함수 아니고서야 공집합이 되어버리겠죠.) 2번은 왜 저렇게 표현했나 모르겠는데 a class of nonempty subsets of X 라고 표현하는 것 보다는 a subset of power set of X 나 a subset of nonempty subsets of X 라고 표현하는게 맞겠네요. 거기 굳이 class라고 들어가야할 이유가 안보이니까요.