로또의 기댓값이 얼마정도 될까요?

[제님]

1,2,3,4,5,6등의 당첨확률을 각각 구해주세요~ 로또의 기댓값이 1000원 넘어가는지 알고싶어서 그래요ㅎ
1등:숫자 6개 매치
2등:숫자5개+보너스 숫자1개 매치
3등:숫자5개 매치
4등:숫자4개 매치
5등:숫자3개 매치

[단무깡]

로또 한장의 기대값이라. 기대값이란게 (로또가 취할 수 있는 상태에 대한 세금고려한 당첨금) x (그 상태가 될 수 있는 확률)을 모조리 더한거잖아요? 근데 로또 1장이 취할 수 있는 상태란게 엄청나거든요. 1등을 했다고 해도 동일 번호조합이 몇개인지도 고려해야하겠고... 양자역학적으로 접근해보면 재밌을거 같은데요? 일단 10000개의 로또 게임이 팔린 상황을 생각해보는거예요. 그러면 로또 입자는 10000개가 있는거죠. 그 개개의 로또 입자의 가능한 양자상태는 8,145,060 가지예요. 그리고 이 입자는 서로 동일한 양자상태에 있을 수 있는거죠. 마치 보존(boson) 처럼 말이죠. 통계물리 좀 응용하면 정확하게 계산 할 수 있을 듯해요.

[단무깡]

밝히리님. 보즈-아인슈타인 통계법으로 접근해보면 어떨까요?

[밝히리]

보즈-아인슈타인 통계를 이용하는 것은 저에겐 너무 어려운 문제이구요... ^^;;
4등과 5등은 당첨금이 정해져 있지만, 1,2,3 등의 당첨금은 로또 판매액에 비례가 되지요.

그래서 간단하게 두가지를 생각할 수 있습니다.
1. 로또 판매량이 n배가 된다. -> 총 당첨금이 n 배가 된다.
2. 로또 판매량이 n배가 된다. -> 당첨자가 n 배가 된다. -> 한 명당 총 당첨금의 1/n 배를 받는다.
위의 두 가지 결과는 당첨금에 반대로 영향을 주므로 서로 상쇄됩니다.

결국, 로또가 몇 장 팔렸는지에 관게 없이 제가 처음 설정한 가정과 같은 기대값이 나옵니다.
그래서, 처음 적은 초간단(?) 기대값은 훌륭한 근사값이라 생각합니다. ㅎㅎ

[단무깡]

로또 1장의 기대값을 구하기 위해서는 통계적 접근이 필요합니다. 로또의 기대값을 결정하는 요인으로는 로또 판매량, 또한 그 판매된 로또의 상태(로또는 8,145,060 가지의 상태가 있음) 분포를 우선 고려해야합니다. 로또의 상태 분포가 결정된 상태에서의 기대값과, 로또의 상태분포가 결정되지 않은 상태에서의 기대값 계산도 다를겁니다. 단순히 수입금의 50% 만 당첨금으로 지급한다는 규정을 가지고 기대값이 500원이라고 결론내면 안되는거죠.

[단무깡]

아 그러고보니 밝히리님은 "나 혼자 모든 로또 번호를 1게임씩 다 샀다고 가정하면" 이란 조건이 있군요. 저러면 500원 맞네요.^^. 절라 빡시게 계산해봤어요.