적분에 의한 겉넓이와 부피에 관계 관련 질문입니다.

[Luxury junny]

겉넓이를 적분 하면 부피가 된다고 알고 있습니다.

그 예로 구의 겉넓이 S = 4 ∏ r^2  를 적분 하면 구의 부피 V = 4/3 ∏ r^3

을 생각 하고 있었는데요.

한변의 길이가 a 인 정육면체 를 생각 하니 맞지를 않는것 같아 이렇게 질문 드립니다.

정육면체의 부피 V = a^3

정육면체의 겉넓이 S = 6*a^2

제가 어느 부분에서 잘못 알고 있는건지 답변 좀 부탁 드립니다.

[오대감]

한 변의 길이를 a로 놓으면 안 되지만 2a로 놓으면 잘 됩니다. 한 변의 길이의 절반을 기준으로 생각하라는 얘기죠. 왜 그래야 하는지는... 한번 생각해보세요. ^^;

[Junny]

오대감님 먼저 답변 감사 드립니다. 음.. 2a부터는 맞아 들어 가네용 근데 "한 변의 길이의 절반을 기준으로 생각하라는 얘기죠."라는 오대감님 말의 해석자체가 안됩니다 ㅡㅡ; 무슨 말씀이신지.. 흑~ 그리고 도움 주시는 김에 왜 겉넓이를 적분하면 부피가 되는지 간략하게 나마 설명한번 부탁 드려두 될까요?

[단무깡]

무조건 겉넓이(S)와 부피( V)의 관계가 미적분의 관계에 있는 것은 아닙니다. 미분변수에 대한 대칭적인 팽창이 있어야죠. V(x) = ∫ S dx 의 관계에 있게끔 변수를 설정한 경우만 그렇게 된다는 의미입니다. 속이 꽉찬 구는 양파 껍질처럼 속이 텅빈 구껍질로 잘게 나눌 수 있습니다.이렇게 나누면 r 의 변화에 대해 대칭적 팽창이 되는거죠. 잘게 나누어진 구껍질의 부피(dv)=S(r) dr 이 됩니다. 그러므로 전체부피(V)=∫4*pi*r^2 dr = 4/3 *pi*r^3 , 그래서 이경우, 부피의 대칭적 팽창을 유도하는 변수(r) 로 미분하면 겉넓이가 나오죠. 대칭적 팽창을 유도하지 않는 x,y,z 등의 변수로 미분하면 결코 겉넓이가 나오지 않습니다.

[단무깡]

정육면체의 경우 구의 경우처럼 정육면체 껍질을 생각합니다. 그 껍질의 중점은 원점입니다. 원의 경우 반경 r 로 미분하면 겉넓이가 나왔듯이, 한변이 2a 인 정육면체인 경우 반경 a 로 미분하면 겉넓이가 나오겠죠. 여기서 a 는 정육면체의 각변에 수직인 방향에 대한 대칭적 팽창을 유도하는 변수인거죠.

[Junny]

음.. 단무깡님 답변 감사 드립니다. 또 고수님들께 많이 배우고 갑니다 ^^