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작성자 길라잡이 작성시간06.11.25 x=y 일 때 최소값 또는 최대값이 나온다는 말은 틀립니다. 단지 x=y에서 산술기하평균 공식의 등호가 성립하는 필요충분 조건일 뿐입니다. 예를 들어 x>0, y>0 x+2y=2 를 만족할 때 1/x + 2/y 의 최소값을 구하는 문제를 볼까요? MC HK 님의 말씀대로 1/x=2/y 일 때 x=y=2/5 로 계산하면 1/x + 2/y 의 값은 5가 나오게 됩니다. 그러나 구하는 식의 최소값은 x=y=2/3 일 때 최소값 9/2를 갖게 됩니다. 물론 x=y=2/5 는 x+2y=2라는 조건도 만족시키지 않습니다. 왜 이런 문제가 발생하냐면 위에서 말씀 드렸다시피 더하는 두 수가 같다고 해서 최소값을 갖는다는 것은 아니라는 겁니다.
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작성자 길라잡이 작성시간06.11.25 산술기하 평균에서 최소값을 구하는 문제들은 선생님들이 이런 방법으로만 풀어야 한다고 알려주기 때문에 사고가 굳어서 그렇습니다. 분명 교과서에는 단지 필요충분조건이라는 말밖에 없는데 컴퓨터처럼 계산만 하는 것에 익숙해지다보니 그런 결과가 나오는 것입니다. 이러한 문제점은 산술기하 평균을 사용할 때 우변이 상수함수가 나오지 않을 때 실수가 많이 발생합니다. 그래프를 그려보면 왜 이러한 일이 발생하는지 아실겁니다. 따라서 위의 반례에서는 식을 변형하는 게 좋습니다. 물론 우변이 상수가 나오도록 말입니다.
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작성자 푸른하늘 작성시간06.11.25 길라잡이님처럼 예를 들면 정말 무식하게 푸는거죠. 최소한 x=2/5, y=4/5라고라도 써야 하는거고(오타라고 믿겠습니다), 산술기하 평균을 아주 우습게 써도, 저 상황이라면 우변이 2*sqrt(2/xy)가 될꺼고, x+2y=2에서 xy의 최대를 구해서 앞 식에 대입하는 상황이죠. 이런 실수는 아주 많이 하는편인데, 왜 이게 실수냐 하면, 산술기하평균을 두 번 썼는데, 두 번의 등호조건이 서로 다르기 때문입니다. 즉, 이런 실수만 피하면 산술기하평균을 두 번쓰든, 우변이 상수가 안되든 전혀 상관없습니다.