[수10가]산술기하 평균에 관한 문제에요.

[박지원]

수학 고1 교과서-대한교과서(주) 152쪽에 나와있는 5번 문제가 있어요.

`a>0, b>0 이고 a+b=5 일 때 4/a+9/b 의 최솟값을 구하여라.`

교과서에서는 4/a+9/b=S라고 하면 5S=(4/a+9/b)(a+b)=4+9+4b/a+9a/b

이것의 최솟값은 13+12=25 따라서 `S의 최솟값은 5이다.`라고 나와 있어요.

그런데 a+b와 2루트ab 에서 등호(즉, a+b의 최솟값)가 성립할 조건은 a=b잖아요.

그러니 a=b 이면 최솟값이 되잖아요.

그래서 이 방법대로 풀면 4/a=9/b에서 4b=9a, a+b=5 이므로

4(5-a)=9a 풀면 a는 20/13이 나와요. 그래서 b는 45/13에요.

 4/a+9/b에 대입하면 26/5이 나와요.

4/a=9/b로 해서 풀어도 나와야 되는거 아닌가요??

물론 교과서대로 푸는게 더 작은 값이긴 하지만요. 

도대체 어디서 잘못 된거죠??

[모기날개]

산술-기하 평균은 (a+b)/2 >= √(ab) 이고 등호는 a=b일 때 성립합니다. 위에서는 산술-기하 평균 부등식을 4b/a 와 9a/b에 대하여 사용했으니까 등호는 4b/a=9a/b 일 때 성립합니다. 4/a=9/b가 아니라요...

[NateRiver]

계산해보니까 y' = 4/x² - 9/(5 - x)² = 0 일 때 성립하네요..
즉, 4/a = 9/b 일 때가 아니라 4/a² = 9/b² 일 때 성립합니다.
4(x - 5)² = 9x² 에서 쭉쭉 계산해보면 0 < x < 5 범위밖의 값은 무시하고;
거기다 범위 내의 값(x = 2)에서 최댓값인지 최솟값인지 단정지을 수 없지만 그럴꺼라고 도박을 해야 하겠네요.

[공짱타강]

4/a+9/b단독적으론 못푸니까. 여기에 (a+b=5)를 곱해주고 나누어주어야해여. (4/a+9/b)(a+b)를 전개하면 4+9+ 4b/a+9a/b이렇게 나와요. 그러면 여기서
4b/a를 A로 9a/b를 B로 놓고 산술,기하평균공식에 대입하면 4+9+ 4b/a+9a/b≥ √(4b/a×9a/b+4+9 이것을 정리하면
4+9+ 4b/a+9a/b≥ √(4b/a×9a/b+4+9 이것을 정리하면 4+9+ 4b/a+9a/b≥ 12+4+9 , 4+9+ 4b/a+9a/b≥ 25 여기에서 이제 a+b=5곱해준거 다시나누어주면 최솟값5가 되는데 꼭 주의사항은 4b/a=9a/b조건 즉 <,3a =4b일때 최솟값 5 입니다.>

[푸른하늘]

산술기하평균을 적용할때 열이면 여덟아홉이 틀리는 부분이지요.. a+b>=2sqrt(ab)는 맞지만, 우변이 상수가 나오지 않는한 반드시 최솟값을 보장하는 것은 아닙니다.

[산은산물은물]

코쉬...부등식을 써도 됩니다.