F=Q (Q: 유리수체)일 때, 자연수 n에 대해 K를 f(x) = x^n -1 의 분해체 라고 하고, Z를 f(x)의 해집합이라고 하면(Z⊂Q바)
Z⊂K 이고, Z는 체의 곱셈에 대하여 위수가 n인 순환군이 됩니다.
그런데 만약 F가 표수 p인 유한체인 경우라면, p가 n을 나누지 않을 때, Z는 위수 n인 순환군이라고 할 수 없나요?
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작성자신선물고기 작성시간 21.10.14 지금 해집합에 대한 이야기를 하기 때문에 확대체 개념은 딱히 필요하지 않으니 논의를 단순하게 하기 위하여 다음과 같은 명제를 생각해 보겠습니다.
'표수가 p인 체 F가 다항식 x^n-1의 근(영점)을 모두 포함한다. 이때 그 해집합은 순환 군이다. 여기에 더해서 n이 p의 배수가 아닐 때는 그 위수는 n이다.'
가 참인지 생각해봅시다.
이 명제는 그런데 참입니다. 왜 그럴까요? -
답댓글 작성자마이클 작성자 본인 여부 작성자 작성시간 21.10.15 K를 F상에서 x^n-1의 분해체라고 하면 K*=K-{0} 은 곱셈군이고, 해집합을 S라고 하면 S⊂K* 이며, S는 곱셈군이므로 K*의 유한 부분군이 됩니다. 따라서 S는 순환군입니다. 특히 F의 표수 p가 n을 나누면 n=pk 꼴로 쓸 수 있고, x^n-1=(x^k-1)^p 이므로 해의 개수는 많아야 k(<n)개입니다. 그러나 p가 n을 나누지 않으면, 임의의 α∈S에 대해 g(x)=(x^n-1)/(x-α) 는 g(α)≠0 이므로 α는 중근이 아닙니다. 그러므로 |S|=10. 따라서 S는 위수 10인 순환군입니다.
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답댓글 작성자신선물고기 작성시간 21.10.15 마이클 끝에서 세 번째 줄에서는 근거를 든다면 도함수가 사라지지 않는다는 것을 근거로 드시면더욱 좋습니다^^
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답댓글 작성자마이클 작성자 본인 여부 작성자 작성시간 21.10.15 신선물고기 그 방법이 더 좋겠네요. 감사합니다. ^^