Re:metric 관련 문제 입니다.

작성자비는아픔|작성시간11.07.22|조회수108 목록 댓글 5

문제가 잘못되지 않았나 싶습니다? 함 봐주세요 급하게 쓰느라 정신이 없네요 ㅠ

The idea is from the following simple observation.

Obesrvation Let $A$ be a set whose cardinality is equal to or less than $2^{\aleph}=|\mathbb{R}|$
Then there exists a metric topology $\tau$ over $A$ .

proof) Note that there exists a one-to-one mapping $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ .
Then $D(x,y)=|f(x)-f(y)|$ is a metric over X since for $x,y\in A$ ,
i) $D(x,y)=0$ iff $x=y$ ( $f$ is one-to-one)
ii) $D(x,y)=D(y,x)$ trivially
and iii) $D(x,z)\leq D(x,y)+D(y,z)$ clearly.

The induced topology $\tau$ from $D$ is what we want.

Now let $A=\mathbb{R}$ and $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}(x\neq 0),{}{}=0(x=0)$ .
Then considering the induced metric $D$ above, $D|_{X\times X}=d$ , clearly.

We find $\delta = D$ which satisfies the condition in the problem.

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작성자걸음마 | 작성시간 11.07.23 오! 좋은 아이디어네요~ ㅎㅎ 문제 틀린 것같아요~ ^^
답댓글 작성자비는아픔 작성자 본인 여부 작성자 | 작성시간 11.07.23 ㅠㅠㅋ
작성자Klein | 작성시간 11.07.23 문제를 이렇게 바꾸어보면 어떨까요. R의 standard topology와 compatible 하면서, (0,1)에서 주어진 metric과 compatible한 R 위의 metric이 존재하지 않음을 보여라.
답댓글 작성자비는아픔 작성자 본인 여부 작성자 | 작성시간 11.07.23 compatible란 용어를 정확히 어떤 의미로 사용하신거죠?
답댓글 작성자Klein | 작성시간 11.07.24 위 풀이에서 지적해주신 것처럼, X -> R인 임의의(!) 1-1 함수가 있으면, 이를 이용해서 X에 metric을 줄 수 있습니다. (0,1) 위의 1-1 함수를 R로 확장하는 것은 (연속 가정이 없는 임의의 함수이므로) 매우 쉬우므로, 위 문제는 반례가 나오지요. 하지만 위 반례에서 잡은 함수의 특성 상, metric D에 의해 주어지는 topology는 R의 standard topology와 같지 않습니다 (lim 1/n != 0). 그래서 질문을 바꾸어서, 1. D'|_X = d, 2. D'에 의해 주어지는 topology = R의 standard topology인 metric D'이 존재하지 않음을 보여라로 문제를 바꾸면 어떨까 해서요.

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